GEOMETRÍA ANALÍTICA. Ejemplos de comportamiento Lineal.

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Eemplos de leyes en la naturaleza que sigan un comportamiento lineal.

-La relación de cambio entre dos monedas de uso en dos diferentes países.

-La estatura de una persona en relación con su fémur.

-La relación de las diferentes escalas de temperatura, grados Celcius y grados Farenheith.

-El interés simple de un capital.

-El costo de producción de un producto.

 -La elasticidad lineal.

-La dilatación lineal, superficial y volumétrica de los cuerpos.

-La ley de Ohm.

-Movimiento rectilíneo uniforme a velocidad constante.

 Todos estos son ejemplos de sucesos que presentan un comportamiento lineal, es decir todas ellas presentan una razón de cambio constante. (Lira, Jaime, Rodríguez, Gallegos, & Chavez, 2007, pág. 48)

Bibliografía

Lira, A., Jaime, P., Rodríguez, C., Gallegos, M., & Chavez, M. (2007). Geometría Analítica. Zapopam: Editorial Umbral.

 

GEOMETRÍA ANALÍTICA. Comportamiento Lineal.

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Por María de la Luz Pérez Limón.

¿Cómo se describe un comportamiento lineal? El comportamiento lineal de un elemento facilita su estudio, en la realidad todo elemento se comporta como no lineal pero los resultados de su estudio no difieren, en su mayoría, a los realizados si se consideran como elementos lineales. Dicho comportamiento se expresa por medio de una función lineal del tipo f(x) = ax+b, que es la ecuación de la recta en su forma pendiente y ordenada al origen.

Dos ejemplos sencillos de estos fenómenos son:

a) Un ejemplo de ello es el resorte, donde según la Ley de Hooke el comportamiento fuerza -deformacion es lineal.

b) Otro ejemplo, es el Principio de Arquímedes que afirma que; un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluído en reposo, recibe un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del volumen del fluido que desaloja. Esta fuerza recibe el nombre de empuje hidrostático o de Arquímedes y se mide en Newtons. 

Escribe las ecuaciones de los ejemplos que proporcionaste en el punto anterior:

a) a) La ecuación de la Ley de Hooke es :    F = – k x 

Donde F representa a la fuerza aplicada para deformar un resorte y que a su vez está en función de la constante de elasticidad k del resorte y de la deformación lineal x. La ecuación gráfica de la Ley de Hooke a saber es una pendiente, donde la constante es el valor  de la pendiente.

 b)Principio de Arquímedes.  Su ecuación es:  

        Donde E es el empuje , ρf es la densidad del fluido, V el volumen del fluido desplazado por algún cuerpo sumergido parcial o totalmente en el mismo,,g la aceleración de la gravedad y m  la masa, de este modo, el empuje depende de la densidad del fluido, del volumen del cuerpo y de la gravedad existente en ese lugar.

HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES. Para qué nos sirven en Matemáticas.

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Para qué nos sirven las  herramientas computacionales en las matemáticas?

Por Lic. María de la Luz Pérez Limón.

Hoy en día, básicamente, nos sirven como apoyo en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas y nos permiten resolver cualquier problema difícil que se nos vaya presentando en cualquiera de los cursos de la licenciatura y de una manera analítica y exacta, podemos tratar de resolver, mediante el uso y utilización adecuados de programas (software) relativos a los procesos de aprendizaje de las mismas, preparándonos así para llegar a procesar e interpretar la información mediante dichos métodos analíticos y numéricos, lo cual seguramente, nos permitirá cumplir con calidad y eficacia cualquier trabajo o proyecto que nos propongamos realizar; así pues, el aprendizaje de dichas herramientas, constituyen un instrumento apropiado, para poder adquirir las competencias necesarias en el manejo de  programas computacionales, que nos servirán para realizar nuestras actividades con mayor facilidad ,eficiencia, rapidez y profesionalismo.

El uso de las nuevas tecnologías computacionales nos permite explorar, justificar e ir construyendo nuestro propio conocimiento y la evolución que ha experimentado el software matemáticos en los últimos años, nos conduce de manera urgente, a ir aprendiendo las nuevas formas de hacer matemáticas.

Aunque existen numerosos asistentes o paquetes matemáticos, para facilitar la realización de operaciones y procesos matemáticos (cálculos gráficos, de funciones de dos o tres dimensiones, análisis estadístico análisis de sensibilidad en programación lineal, simulación de problemas, etc.) a continuación se resumen los más conocidos y utilizados en matemática:

  • CABRI GEOMETRE, este software ofrece potencialidades para realizar construcciones geométricas, realizar ejercicios creativos. Actualmente es uno de los software que más se está utilizando mundialmente para el estudio de la geometría.

En el ámbito universitario, han sido y continúan siendo objeto de estudio para profesores de matemática los asistentes más utilizados en diferentes carreras, disciplinas y asignaturas, entre ellos:

  • MATHEMATICA: incluye un amplio rango de funciones matemáticas, soporta operaciones de álgebra lineal, realiza todo tipo de operaciones algebraicas, opera con funciones, derivadas e integrales y, entre otras muchas cosas, incorpora un módulo gráfico que tiene salida en formato.

Mathematica es el primer programa para la computación y visualización numérica, simbólica y gráfica. Mathematica ofrece a sus usuarios una herramienta interactiva de cálculo y un versátil lenguajede programación para una rápida y precisa solución a problemas técnicos.

  • MATLAB: potente lenguaje de programación de cuarta generación. Es un programa interactivo que ayuda a realizar cálculos numéricos, analizando y visualizando los datos, para resolver problemas matemáticos, físicos, etc. Matlab trabaja con escalares, vectores y matrices.

MATLAB es un medio computacional técnico, con un gran desempeño para el cálculo numérico computacional y de visualización.

MATLAB integra análisis numérico, matrices, procesamiento de señales y gráficas, todo esto en un ambiente donde los problemas y soluciones son expresados tal como se escriben matemáticamente.

  • DERIVE: El Derive se utiliza para mejorar los resultados obtenidos con la metodología tradicional. Puede ser utilizado en la enseñanza de Álgebra Lineal y en el Cálculo Diferencial e Integral. En algunos casos, Geometría y Matemática Discreta.

El Derive es una potente calculadora, que puede ser aprovechada para motivar la introducción de nuevos métodos y conceptos; también para prevenir la fe ciega en el ordenador. (Ejemplos: discusión de sistemas con parámetros, diagonalización de matrices de orden superior a cinco para introducir métodos numéricos.)

Derive permite al profesor construir ejemplos para ilustrar conceptos y métodos, así como proponer problemas reales.

Las prácticas en Álgebra Lineal se centrarían en aprovechar las posibilidades de manipulación de Derive para la asimilación de técnicas de resolución de problemas más que en la comprensión de conceptos.

  • MAPLE: permite un ambiente para resolución de problemas matemáticos complejos que involucran expresiones algebraicas, simbólicas, cálculos numéricos de alta precisión e visualización matemática.
  • MathCAD: incluye funciones de cálculo y gráficas en dos y tres dimensiones; puede producir documentos con texto y gráficas; puede usar un coprocesador matemático en las máquinas que lo tengan incorporado.
  • EXCEL: Microsoft Excel es una potente y a la vez sencilla hoja de cálculo, en la cual haremos operaciones matemáticas, científicas y operaciones con datos.

Dentro de los Software Estadísticos Tenemos

  • SPSS: se describe como un sistema de gestión de datos y análisis estadístico en entorno gráfico. Puede recibir datos desde cualquier fichero y utilizarlos para generar informes, tablas, gráficos de distribución y moda, estadísticas descriptivas y análisis estadístico complejo.
  • STATGRAPHICS: Paquete general con poderosas gráficas y facilidades de información. Distribuido por módulos: Base (estadísticas básicas), series temporales, diseño experimental, control de calidad, métodos multivariantes y técnicas de regresiones avanzadas.
  • STATISTICA: Contiene una amplia elección de herramientas de modelado y previsión (por ej. modelos lineales, modelos lineales/no lineales generalizados, análisis de sobrevivencia, series cronológicas y previsión), incluyendo selección automática de modelos y herramientas de visualización interactivas.

http://marioconsultoria.blogspot.mx/2011/08/herramientas-computacionales-para-el.html

HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES. Lenguaje R.

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REPRESENTACIONES GRÁFICAS EN ESTADÍSTICA.

INTRODUCCIÓN.

Una foto dice más que mil palabras. Para las personas es más fácil procesar e interpretar información que se presenta de manera gráfica, ya sea con dibujos, gráficas, fotos. La presentación de datos mediante gráficas es algo que se realiza a diario y en forma casi natural por personas de las más diferentes profesiones.

Los gráficos nos permiten a “golpe de vista” hacer un análisis de datos aun los muy complejos e interpretarlos, determinar su comportamiento, analizarlos de manera más fácil, de igual manera facilitan el sacar conclusiones, implican un ahorro significativo de tiempo.

Los gráficos estadísticos nos permiten usar nuestra habilidad visual para procesar información, en base a ello podemos hacer juicios respecto la variabilidad, escala, patrones y tendencias de los datos. Igualmente es importante desarrollar habilidades para interpretar de manera correcta la información proporcionada por los gráficos, debemos ver a los gráficos como una poderosa herramienta de trabajo.

William Playfair es considerado el pionero de la estadística gráfica. Su trabajo en gráficas lo realizo durante más de 36 años, el actuaba en base a los siguientes principios:

1. El método gráfico es una forma de simplificar lo tedioso y lo complejo.

2. Los hombres ocupados necesitan alguna clase de ayuda visual.

3. Un gráfico es más accesible que una tabla.

4. El método gráfico es concordante con los ojos.

5. El método gráfico ayuda al cerebro, ya que permite entender y memorizar mejor.

Wainer (1990) señala que entre la gente es muy común pensar que si un gráfico es bueno, éste debería ser totalmente comprensible sin ninguna ayuda adicional. Este pensamiento es limitante. Los gráficos “buenos” los divide en dos categorías:

1. Un gráfico fuertemente bueno muestra todo lo que queremos conocer sólo con mirarlo.

2. Un gráfico débilmente bueno nos muestra lo que necesitamos conocer observándolo, una vez sepamos como mirarlo.

Actualmente debemos procesar grandes volúmenes de información, los gráficos nos facilitan esta labor. 

Propósito de una representación gráfica en estadística.

El propósito de una representación gráfica en estadística es presentar la información de manera clara, sencilla, retomando a Wainer,  debe mostrar todo lo que necesitamos conocer con solo observarlo.

  1. Elementos de una gráfica.

I.        Título principal.

II.        Título secundario (opcional)

III.        Descripción del gráfico.

IV.        Región de datos y símbolos (gráfico)

V.        Escalas en los ejes

VI.        Pie del gráfico.

  1. Errores y mejores prácticas al elaborar gráficas.

Mejores prácticas:

I.        Hacer que los datos sobresalgan.

II.        Evitar lo superfluo.

III.        Utilice un par de líneas para cada variable.

IV.        Utilice elementos prominentes para mostrar sus datos.

V.        Coloque marcas fuera de la región de datos

VI.        Resaltar la presentación de datos, que ocupe la mayor área posible.

I.        Ser redundante en la información.

II.        Sobreponer datos.

III.        Sobreponer gráficos.

IV.        Presentar muchos números en un espacio reducido.

V.        No poner título.

VI.        No indicar escalas. 

  1. Gráficas en R.

                      I.        Árbol de tallo y hoja – stem().

Este gráfico fue propuesto por Tukey (1977) y a pesar de no ser un gráfico para presentación definitiva se utiliza a la vez que el analista recoge la información ve la distribución de los mismos. Estos gráficos son fáciles de realizar a mano y se usan como una forma rápida y no pulida de mirar los datos.

Ejemplos:

7 67

7 11

6 8

6 00

5 5666677789999

5 000000011233344444

4 5555555666777788889999

4 00334

3 88

—-+—-+—-+—-+–

Datos de velocidades registradas con radar Fecha de observacion: Sept. 10, 1994

Edad de 20 personas

Supongamos la siguiente distribución de frecuencias:

36  25  37  24  39  20  36  45  31  31

39  24  29  23  41  40  33  24  34  40

que representan la edad de un colectivo de N = 20 personas y que vamos a representar mediante un diagrama de Tallos y Hojas.
Comenzamos seleccionando los tallos que en nuestro caso son las cifras de decenas, es decir 3, 2, 4, que reordenadas son 2, 3 y 4.
A continuación efectuamos un recuento y vamos «añadiendo» cada hoja a su tallo:

tallo1

Por último reordenamos las hojas y hemos terminado el diagrama:

tallo2

Comparar dos distribuciones.

Podemos comparar, mediante estos diagramas, dos distribuciones. Supongamos una segunda distribución:

35  38  32  28  30  29  27  19  48  40

39  24  24  34  26  41  29  48  28  22

De ella podemos elaborar sus diagrama de Tallos y Hojas y compararla con la anterior.

tallo3

http://www.estadisticaparatodos.es/taller/graficas/tallos_hojas.html#trenes

II.        Boxplot o caja de Tukey – boxplot().

Es un gráfico simple, ya que se realiza básicamente con cinco números, pero poderoso. Se

observa de una forma clara la distribución de los datos y sus principales características. Permite comparar diversos conjuntos de datos simultáneamente. Como herramienta visual se puede utilizar para ilustrar los datos, para estudiar simetría, para estudiar las colas, y supuestos sobre la distribución, también se puede usar para comparar diferentes poblaciones.

Este gráfico contiene un rectángulo, usualmente orientado con el sistema de coordenadas tal que el eje vertical tiene la misma escala del conjunto de datos. La parte superior y la inferior del rectángulo coinciden con el tercer cuartil y el primer cuartil de los datos. Esta caja se divide con una línea horizontal a nivel de la mediana. Se define un “paso” como 1.5 veces el rango

intercuartil, y una línea vertical (un bigote) se extiende desde la mitad de la parte superior de la caja hasta la mayor observación de los datos si se encuentran dentro de un paso. Igual se hace en la parte inferior de la caja Las observaciones que caigan más allá de estas líneas son dibujadas individualmente.

boxplot

boxplot1

http://www.spssfree.com

III.        Histograma – hist().

El histograma es el gráfico estadístico por excelencia. El histograma de un conjunto de datos es un gráfico de barras que representan las frecuencias con que aparecen las mediciones agrupadas en ciertos rangos o intervalos.

Para construir un histograma se debe dividir la recta real en intervalos o clases (algunos recomiendan que sean de igual longitud) y luego contar cuántas observaciones caen en cada intervalo. Es tal vez el único gráfico que ha tenido un desarrollo teórico en un área que se conoce como estimación de densidades.

velocidades=c(10,20,30,35,40,50,60,70,80,90,100,5,15,25,35,36,37,42,43,45,46,89,47.5,51,53,55,58,57,28,59,61,63,66,75,74,76,82,81,91)

> hist(velocidades)

histograma1

histograma2

En el doble histograma de frecuencias, las barras del doble histograma se disponen en forma horizontal, es decir, sobre las líneas de las abscisas, y convencionalmente se indican los grupos de edad de la población masculina a la izquierda y los que representan la población femenina a la derecha. A su vez, en el eje de las ordenadas se disponen e identifican los grupos de edad.

Pirámide de población mundial estimada para 2050

pirámide

Datos de las Naciones Unidas, División de Población, Departamento de Asuntos Económicos y Sociales. http://www.popin.org/pop1998/9.htm

IV.        Gráfica de dispersión – plot().

Es tal vez el más antiguo de los gráficos multivariables. Está limitado a la presentación de dos variables, aunque se pueden realizar modificaciones de tal forma que nos permita incluir más.

En R obtenemos este gráfico mediante la función plot: plot(x, …).

> tiempo=c(0.5,1,1.5,2,2.5,3)

> distancia=c(20,60,90,120,160,200)

> plot(tiempo,distancia)

> plot(tiempo,distancia,type=”b”,xlab=”tiempo en horas”,ylab=”distancia en kilómetros”)

dispersión1

dispersión2

V.        Gráfica de puntos – dotchart(), stripchart().

En este tipo de gráfica se dibuja un punto por cada dato y son útiles cuando hay pocos datos que pueden ser clasificados según distintos factores

> x=c(1.0,1.0,1.5,2.2,2.5,2.5,2.5,2.5,2.5,2.5,2.8,2.9,3.0,3.1,3.5)

> stripchart(x,method=”overplot”)

gráfica de puntos

> x=c(1.0,1.0,1.5,2.2,2.5,2.5,2.5,2.5,2.5,2.5,2.8,2.9,3.0,3.1,3.5)

> dotchart(x,gdata=TRUE,bg=”yellow”,lcolor=”blue”,xlab=”tiempos”)

gráfica de puntos +1

VI.        Gráfica circular o pie chart – pie().

Este gráfico es una gran herramienta para datos porcentuales tomadas sobre individuos o elementos, por ejemplo un análisis químico sobre el porcentaje de componentes de muestras tomadas en diversas áreas. En este caso realmente este es un gráfico multivariable que puede utilizarse para comparar diferencias o similitudes y realizar agrupamientos.

gráfica circulargráfica circular1

> color=c(1,3,2,4,1,2,3,4,1,2,2,3,1,4,2,3,3,1,2,3,4)

> color.m=table(color)

> names(color.m)=c(“Ford”,”Honda”,”Vw”,”Kia”)

> pie(color.m,col=c(“blue”,”red”,”green”,”yellow”) )

VII.        Gráfica de barras – barplot().

Nos sirve para presentar datos y la frecuencia con que se presentan ya sea absoluta o relativa.

> marcas=c(1,2,3,4,5,6,2,2,3,3,4,4,5,5,6,1,2,3,4,5,6,3,4,5,6,1,2,3,1,1,2,3,4,5)

> table(marcas)

marcas

1 2 3 4 5 6

5 6 7 6 6 4

> barplot(marcas)

> barplot(table(marcas))

> barplot(table(marcas),main=”preferencias por marca”)

gráfica de barras

Si la presentamos con frecuencias relativas

> marcas=c(1,2,3,4,5,6,2,2,3,3,4,4,5,5,6,1,2,3,4,5,6,3,4,5,6,1,2,3,1,1,2,3,4,5)

> table(marcas)

marcas

1 2 3 4 5 6

5 6 7 6 6 4

> barplot(table(marcas))

> barplot(table(marcas)/length(marcas))

> marca.m=table(marcas)

> names(marca.m)=c(“Ford”,”Honda”,”Vw”,”Gmc”,”Ram”,”Jeep”)

> barplot(marca.m)

gráfica de barras+1

VIII.        Gráfica de columnas de matrices – matplot().

Gráfica las columnas de una matriz contra las columnas de otra.

> x=matrix(1:9,3,3)

> y=matrix(10:18,3,3)

> matplot(x,y)

gráfica de matrices+1

> x=matrix(1:4,2,2)

> y=matrix(8:11,2,2)

> matplot(x,y)

gráfica de matrices+1

IX.        Gráfica Quantil-Quantil – qqnorm(), qqplot().

Un gráfico Cuantil-Cuantil permite observar cuan cerca está la distribución de un conjunto de datos a alguna distribución ideal ó comparar la distribución de dos conjuntos de datos.

gráfica cuantil

gráfica cuantil1

X.        Adición de elementos a las gráficas – lines(), points(), abline()

<lines()

Esta función permite graficar segmentos de líneas rectas en un gráfico previo

> x=c(1:10)

> y=c(2*1:10)

> plot(x,y)

> lines(x,y)

gráfica cuantil +1

> x=c(-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4)

> y=c(4,5,3,2,0,5,3,4,6)

> plot(x,y)

> lines(x,y)

gráfica cuantil+2

   points()

Es una función para dibujar una secuencia de puntos en las coordenadas especificadas.

Los puntos agregados están en verde

     abline()

Permite agregar líneas a los gráficos

> x=c(-3,-2,-1,0,1,2,3)

> y=c(-2,0,2,4,6,8,10)

> plot(x,y)

gráfica cuantil+3

> abline(2,-2)

> abline(-2,2)

gráfica cuantil+4

CONCLUSIONES:

El objetivo de un gráfico en estadística, es mejorar la presentación del contenido científico, es hacer más fácil el análisis e interpretación de la información.

Es importante que la información pueda ser captada rápidamente, de un golpe de vista, debe ser sencilla y clara.

Fuentes de consulta:

http://www.rcim.sld.cu/revista_4/articulos_html/rene.htm

Correa, Juan C.; González, Nefti. Gráficos Estadísticos con R. Colombia, 2002.U. N. sede Medellín .posgrado en Estadística.

http://www.estadisticaparatodos.es/taller/graficas/tallos_hojas.html#trenes

http://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/110826_poblacion_mundial.elp/histograma.html