APUNTES DE MODELACIÓN ESTOCÁSTICA.

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MIS APUNTES DE MODELACIÓN ESTOCÁSTICA. PRÁCTICA E INTERESANTE MATERIA DE LA LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS.

Origen: APUNTES DE MODELACIÓN ESTOCÁSTICA.

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Apuntes de Álgebra Moderna II. Relación con las Álgebras de Lie y producto vectorial.

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Relación con las Álgebras de Lie y producto vectorial.

El producto vectorial, denotado por x, ˆ , [,]  lo vemos definido como una operación binaria en un espacio euclídeo tridimensional, que produce otro vector, el cual es ortogonal o perpendicular a los dos vectores que se multiplican; entonces, es diferente al producto escalar (.) o producto punto, que fabrica un número a partir de los dos vectores input; el producto vectorial, sólo es definible en principio de tres dimensiones , satisface los axiomas de un álgebra de Lie y a diferencia del producto escalar, depende de la orientación comportándose  de forma distinta a un vector.

Se establece un isomorfismo entre el espacio tridimensional euclídeo dotado con la estructura adicional de producto vectorial (R3,x) y el espacio de matrices de orden tres y determinante unidad, mediante la siguiente aplicación que relaciona la estructura de  producto vectorial con el corchete de Lie del álgebra de las matrices antisimétricas de orden 3.

Con las Matrices de Zorn.

Max August Zorn encontró la manera de representar las semioctavas (no asociativas) como matrices,  usando la matriz vectorial 2×2, donde a y b son los números reales, v y w son vectores de R3, mientras que la multiplicación de estos objetos está dada por la operación siguiente, donde  . , x son el producto escalar y  vectorial en 3D.

Con la adición y multiplicación escalar usuales, el conjunto de tales matrices, forma un álgebra unitaria 8-dimensional no asociativa sobre los números reales, que es el álgebra de Zorn, isomorfa al álgebra de las semioctavas. Escribiendo una octava en la forma X=(a+a)+l(b+b) donde a,b, a, b, son las partes escalar y vectorial de ls respectivas octavas:

Con el producto de dos cuaterniones.

Q1Q2=(0,a)(0,b)=(- a . b, a x b)

Esto quiere decir que, el producto de dos cuaterniones imaginarios puros es igual al producto vectorial que hoy conocemos como tal, menos el producto escalar euclídeo usual. Si se tienen dos cuaternios con cuatro componentes en general no nulas, el producto es más complicado, como se puede observar:

Con las álgebras reales de Grassman.Grassman utilizó las álgebras en que los escalares son los números reales, y contribuyó notablemente con definiciones importantes como:

Producto exterior (producto de la cuña):                               

Fuentes de consulta:

http://www-fp.usc.es/~edels/FM/FM-grupos.pdf

https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/realquiler/fich/jfgh.pdf

https://es.wikipedia.org/wiki/Producto exterior